Sistem Koordinat

Geometri Analitik Ruang mempelajari tentang sistem koordinat ruang, bidang datar, garis lurus, dan bola. Materi ini juga pernah didapat ketika duduk di bangku SMP atau SMA.

Untuk awal, mari kita membahas tentang System Koordinat Ruang.

Sistem Koordinat Ruang

Untuk menentukan letak atau posisi suatu titik dalam ruang dipergunakan susunan koordinat orthogonal ruang, yang disebut system koordinat kartesius siku-siku. Susunan kooordinat orthogonal ruang ini terdiri atas tiga bidang yang saling berpotongan tegak lurus menurut tiga garis lurus, seperti terlihat pada gambar berikut ini :

Ketiga garis tersebut, yaitu OX, OY, dan OZ saling berpotongan tegak lurus, untuk selanjutnya, masing-masing disebut sumbu X, sumbu Y, dan sumbu Z.

Letak titik A dalam ruang ditentukan oleh jarak titik itu terhadap bidang-bidang koordinat YOZ, XOZ, dan XOY. Apabila jarak titik A terhadap bidang YOZ, XOZ, dan XOY berturut-turut adalah x, y, dan z, maka koordinat titik A dapat ditulis (x, y,z), atau A(x, y, z). selanjutnya bilangan-bilangan x, y, dan z berturut-turut disebut absis, ordinat, dan aplikat dari titik A.

Di dalam ruang, setiap titik dapat diwakili oleh satu dan hanya sau triple bilangan riil (x, y, z), dan sebaliknya setiap triple terurut dari bilangan-bilangan riil(x, y, z) mewakili satu dan hanya satu titik dalam ruang. Atau, dengan kata lain terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan titik dalam ruang dengan himpunan triple terurut dari bilangan-bilangan riil (x, y, z). masing-masing bilangan riil x, y, z dapat bernilai positif atau negative, tergantung arah mengukurnya, apabila kea rah positif atau negative pada sumbu-sumbu koordinat, yaitu sumbu X, sumbu Y, dan sumbu Z disebut titik pangkal sumbu koordinat. Jadi, untuk O adalah titik pangkal sumbu koordinat.

Bidang-bidang koordinat XOY, XOZ, dan YOZ membagi ruang atas 8 bagian (cell) yang masing-masing disebut oktan.

NO	Titik P(x, y, z) pada :	Bilangan-bilangan
1	Oktan I	X > 0	y > 0	z > 0
2	Oktan II	X < 0	y > 0	z > 0
3	Oktan III	X < 0	y < 0	z > 0
4	Oktan IV	X > 0	y < 0	z > 0
5	Oktan V	X > 0	y > 0	z < 0
6	Oktan VI	X < 0	y > 0	z < 0
7	Oktan VII	X < 0	y < 0	z < 0
8	Oktan VIII	X > 0	y < 0	z < 0

Persamaan Bidang Koordinat

• Setiap titik pada bidang koordinat XOY, aplikatnya=0. Jadi, persamaan bidang XOY adalah z=0
• Setiap titik pada bidang koordinat YOZ, absisnya=0. Jadi, persamaan bidang YOZ adalah x=0
• Setiap titik pada bidang koordinat XOZ, ordinatnya=0. Jadi, persamaan bidang XOZ adalah y=0
• Sumbu X adalah perpotongan antara bidang XOY dan bidang XOZ, maka persamaan sumbu X adalah y=0 dan z=0.
• Sumbu Y adalah perpotongan antara bidang XOY dan bidang YOZ, maka persamaan sumbu Y adalah x=0 dan z=0.
• Sumbu Z adalah perpotongan antara bidang XOZ dan bidang YOZ, maka persamaan sumbu Z adalah x=0 dan y=0.

Jarak Dua Titik

P(x₁, y₁, z₁) dan Q(x₂, y₂, z₂) adalah titik-titik dalam ruang. Vector posisi titik-titik tersebut berturut-turut adalah p=(x₁, y₁, z₁) dan q=(x₂, y₂, z₂). Untuk setiap titik P dan Q dalam ruang berlaku :

PQ = OQ – OP

      = q – p

      =  (x₁ – x₂, y₁ – y₂, z₁ – z₂)

(O=titik pangkal sumbu koordinat)

Panjang vector PQ = jarak titik P dan titik Q. bila d = jarak antara titik P dan Q,

maka : d = | PQ | => d = √{(x₁ – x₂)² + (y₁ – y₂)² + (z₁ – z₂)²}, d ≥ 0